Answer:
Para factorizar completamente la función polinómica f(x) = x^6 - 6x^4 - 31x^2 + 36, seguimos estos pasos:
1. Identificamos los términos comunes que puedan ser factorizados, en este caso, notamos que la función es una diferencia de cuadrados:
f(x) = x^6 - 6x^4 - 31x^2 + 36
= (x^3)^2 - 6(x^2)^2 - 31x^2 + 36
= (x^3)^2 - (6x^2)^2 - 31x^2 + 36
Esto nos permite factorizarlo como (x^3 - 6x^2 - 4)(x^3 + 6x^2 - 9).
2. Ahora, observamos la primera expresión x^3 - 6x^2 - 4 para factorizarla más:
x^3 - 6x^2 - 4 = x^3 - 8x^2 + 2x - 4
= x^2(x - 8) + 2(x - 2)
= (x^2 + 2)(x - 4)(x - 2).
3. Para la segunda expresión x^3 + 6x^2 - 9, no puede factorizarse más en términos reales utilizando el teorema de las raíces conjugadas, ya que no tiene raíces reales.
Por lo tanto, la factorización completa de la función f(x) es:
f(x) = (x^2 + 2)(x - 4)(x - 2)(x^3 + 6x^2 - 9).
