Answer:
El vértice de la función [tex]y = 2\cdot x^{2} - 4\cdot x -1[/tex] es (1, -3).
Explanation:
Toda parábola con eje de simetría paralelo al eje de la variable dependiente se representa por el siguiente polinomio:
[tex]y = a\cdot x^{2} + b\cdot x + c[/tex]
Donde a, b y c son las constantes del polinomio, así como x y y son las variables independiente y dependiente, respectivamente. Algebraicamente hablando, se requiere conocer tres puntos para obtener la ecuación particular por resolución de las constantes del polinomio. Esto es:
[tex]P_{1} (x,y) = (0,-1)[/tex]
[tex]-1 = c[/tex]
[tex]P_{2} (x,y) = (-1,5)[/tex]
[tex]5 = a -b + c[/tex]
[tex]P_{3}(x,y) = (1,-3)[/tex]
[tex]-3 = a + b + c[/tex]
La solución del sistema de ecuaciones lineales es:
[tex]a = 2[/tex], [tex]b = -4[/tex], [tex]c = -1[/tex]
La ecuación de la parábola es [tex]y = 2\cdot x^{2} - 4\cdot x -1[/tex]. Ahora, la ecuación estándar de la parábola tiene la siguiente forma:
[tex]y - k = C \cdot (x-h)^{2}[/tex]
Donde:
[tex]C[/tex] - Constante de vértice, adimensional. C > 0 si el vértice es un mínimo absoluto y C < 0 si es un máximo absoluto.
[tex]h[/tex], [tex]k[/tex] - Componentes horizontal y vertical de la ubicación del vértice, adimensionales.
Se transforma el resultado anterior a la forma estándar por métodos algebraicos:
i) [tex]y = 2\cdot x^{2} - 4\cdot x -1[/tex] Dado
ii) [tex]y + 1 = 2\cdot x^{2}-4\cdot x[/tex] Compatibilidad con la adición/Existencia de Inverso Aditivo/Conmutatividad de la adición/Modulatividad de la adición.
iii) [tex]y+1 = 2\cdot [x^{2}-2\cdot x +1 +(-1)][/tex] Modulatividad de la adición/Compatibilidad con la adición/Existencia del Inverso Aditivo.
iv) [tex]y+1 = 2\cdot [(x-1)^{2}-1][/tex] Asociatividad de la adición/Trinomio cuadrado perfecto.
v) [tex]y+1 = 2\cdot (x-1)^{2} - 2[/tex] Distributividad de la multiplicación con respecto a la adición/Multiplicación.
vi) [tex]y+3 = 2\cdot (x-1)^{2}[/tex] Compatibilidad con la adición/Existencia del Inverso Aditivo/Modulatividad de la adición. Resultado.
Tras revisar directamente en el resultado, se encuentra que el vértice de la función es (1, -3).
