SinA-sin5A+sin9A-sin13A / cosA-Cos5A-Cos9A+cos13A = cot4A

1. [tex]\sin A-\sin 5A= 2\sin \frac{A-5A}{2} \cos \frac{A+5A}{2}=-2\sin2A\cos(3A)[/tex];

2. [tex]\sin 9A-\sin 13A=2\sin \frac{9A-13A}{2} \cos \frac{9A+13A}{2}=-2\sin 2A\cos 11A[/tex];

3. [tex]\sin A-\sin 5A+\sin 9A-\sin 13A=-2\sin 2A\cos 3A-2\sin 2A\cos 11A=[/tex][tex]=-2\sin 2A(\cos 3A+\cos 11A)[/tex].

4. [tex]\cos A-\cos 5A=-2\sin \frac{A+5A}{2} \sin \frac{A-5A}{2} =2\sin 3A\sin 2A[/tex];

5. [tex]\cos 13A-\cos 9A=-2\sin \frac{13A+9A}{2} \sin \frac{13A-9A}{2} =-2\sin 11A\sin 2A[/tex];

6. [tex]\cos A-\cos 5A-\cos 9A+\cos 13A=2\sin 3A\sin 2A-2\sin 11A\sin 2A=[/tex][tex]=2\sin 2A(\sin 3A-\sin 11A)[/tex].

7. [tex] \dfrac{\sin A-\sin 5A+\sin 9A-\sin 13A}{\cos A-\cos 5A-\cos 9A+\cos 13A} = \dfrac{-2\sin 2A(\cos 3A+\cos 11A)}{2\sin 2A(\sin 3A-\sin 11A)} =[/tex][tex]= -\dfrac{\cos 3A+\cos 11A}{\sin 3A-\sin 11A} =-\dfrac{2\cos7A\cos4A}{2\cos7A\sin(-4A)}=-\dfrac{\cos4A}{-\sin4A}=\cot4A[/tex].